趣味数学故事：100个著名初等数学问题(2)

　　第50题

　　彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

　　确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。

　　第51题

　　作为包络的抛物线A Parabola as Envelope

　　从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.

　　求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线。

　　第52题

　　星形线The Astroid

　　直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络。

　　第53题

　　斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid

　　确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络。

　　第54题

　　一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral

　　一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

　　第55题

　　圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections

　　确定一个圆锥曲线的曲率。

　　第56题

　　阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola

　　确定包含在抛物线内的面积。

　　第57题

　　推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola

　　确定双曲线被截得的部分所含的面积。

　　第58题

　　求抛物线的长Rectification of a Parabola

　　确定抛物线弧的长度。

　　第59题

　　笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem （Theorem of Homologous Triangles）

　　如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上。

　　反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点。

　　第60题

　　斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction

　　由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素。

　　第61题

　　帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem

　　求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。

　　第62题

　　布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem

　　求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点。

　　第63题

　　笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem

　　一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶。

　　一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶。

　　*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）。

　　第64题

　　由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements

　　求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的。

　　第65题

　　一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line

　　一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点。

　　第66题

　　一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point

　　已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线。

　　第67题

　　斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes

　　n个平面最多可将整个空间分割成多少份？

　　第68题

　　欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem

　　以六条棱表示四面体的体积。

　　第69题

　　偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines

　　计算两条已知偏斜直线之间的角和距离。

　　第70题

　　四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron

　　确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径。

　　第71题

　　五种正则体The Five Regular Solids

　　将一个球面分成全等的球面正多边形。

　　第72题

　　正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral

　　证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象。

　　第73题

　　波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem

　　一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射。

　　第74题

　　高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry

　　正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零。

　　第75题

　　希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection

　　试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法。

　　第76题

　　麦卡托投影The Mercator Projection

　　画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的。

　　第77题

　　航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome

　　确定地球表面两点间斜驶线的经度。

　　第78题

　　海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea

　　利用天文经线推算法确定船在海上的位置。

　　第79题

　　高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem

　　根据已知两星球的高度以确定时间及位置。

　　第80题

　　高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem

　　从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度。

　　第81题

　　刻卜勒方程The Kepler Equation

　　根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角。

　　第82题

　　星落Star Setting

　　对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角。

　　第83题

　　日晷问题The Problem of the Sundial

　　制作一个日晷。

　　第84题

　　日影曲线The Shadow Curve

　　当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线。

　　第85题

　　日食和月食Solar and Lunar Eclipses

　　如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值。

　　第86题

　　恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods

　　确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期。

　　第87题

　　行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets

　　行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？

　　第88题

　　兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem

　　借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间。

　　第89题

　　与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number

　　如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？

　　第90题

　　法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem

　　在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形。

　　第91题

　　费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli

　　试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小。

　　第92题

　　逆风变换航向Tacking Under a Headwind

　　帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？

　　第93题

　　蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell （Problem by Reaumur）

　　试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小。

　　第94题

　　雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem

　　在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）

　　第95题

　　金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus

　　在什么位置金星有最大亮度？

　　第96题

　　地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit

　　慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？

　　第97题

　　最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight

　　在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？

　　第98题

　　斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem

　　在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？

　　第99题

　　斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem

　　在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积。

　　反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长。

　　第100题

　　斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem

　　在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积。

　　在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面

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