趣味数学故事：希尔伯特的23个问题(2)

　　该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。

　　10、丢番图方程的可解性

　　能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

　　11、系数为任意代数数的二次型

　　H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

　　12、将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去

　　这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。

　　13、不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程

　　七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。

　　14、证明某类完备函数系的有限性

　　这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

　　15、舒伯特计数演算的严格基础

　　一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

　　16、代数曲线和代数曲线面的拓扑问题

　　这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

　　17、半正定形式的平方和表示

　　一个实系数n元多项式对一切数组（x1,x2,...,xn）

　　都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。

　　18、用全等多面体构造空间

　　由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。

　　19、正则变分问题的解是否一定解析

　　对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

　　20、一般边值问题

　　这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。

　　21、具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明

　　已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。

　　22、由自守函数构成的解析函数的单值化

　　它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

　　23、变分法的进一步发展出

　　这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

　　这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。

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